Sobre uma fundamentação não reflexiva da mecânica quântica

1. Introdução: as lógicas não reflexivas e a mecânica quântica

Neste trabalho, nos interessa analisar a possibilidade de desenvolver uma fundamentação não reflexiva da teoria quântica. Para tanto, discutiremos, em primeiro lugar, o sentido e a especificidade das lógicas não reflexivas. Em segundo lugar, apresentaremos de modo crítico alguns dos problemas comumente discutidos na literatura com relação à noção de ‘identidade’ na mecânica quântica. Na seção 3, avançaremos sobre alguns argumentos que parecem impedir não apenas a aceitação do princípio de identidade no contexto da teoria quântica, mas também a aceitação da noção de ‘objeto’ – pressuposta no problema das partículas idênticas. Finalmente, na seção 4, apresentamos as conclusões do trabalho.

As lógicas não reflexivas são lógicas nas quais a relação de identidade (ou igualdade) não é considerada válida de modo geral, sendo então restringida, eliminada ou substituída por uma nova relação de implicação ou equivalência não reflexiva. Na lógica clássica, o chamado princípio de identidade (PI) expressa a propriedade reflexiva de identidade. Sua equação usual é a seguinte:

 x = x     (1)

ou:

para todo  x  ( x = x )    (2)

onde x é uma variável de primeira ordem.[1] Por outro lado, existem também equações proposicionais do princípio:

p → p  (p  implica em  p)    (3) 

ou:

 p ↔ p  (p  é equivalente a  p)    (4) 

Contudo, os princípios assinalados não são válidos de modo geral para o caso das lógicas não reflexivas. Eles são total ou parcialmente eliminados, restringidos ou não aplicáveis à relação que, nessas lógicas, ocupa o lugar da identidade. Existem várias motivações para justificar o desenvolvimento das lógicas não reflexivas, entre elas podemos mencionar as seguintes a modo de exemplo: 

1.  i.    Continuar a proposta de Wittgenstein – desenvolvida em sua obra Tractatus – onde se discute a possível eliminação da relação de identidade da lógica.^[2]
2. ii.    A lógica proposicional da implicação causal é tal que este tipo de implicação não satisfaz o princípio de identidade causal (da Costa e Routley, 1987).
3. iii.    Não somente a partir de uma perspectiva filosófica, mas também lógica, é necessário esclarecer o verdadeiro sentido da relação de identidade em todos os níveis da hierarquia lógica. 

Além dessas motivações, no presente trabalho nos interessa justificar a possibilidade de desenvolver uma lógica não reflexiva a partir de um interesse específico relacionado aos fundamentos da física dos quanta.

A mecânica quântica nasceu a partir da postulação do princípio quântico postulado por Max Planck em 1900, com o objetivo de resolver a chamada “catástrofe do ultravioleta”. De acordo com Niels Bohr (1958, p. 53): “[a essência da teoria quântica] pode ser expressa a partir do postulado quântico, o qual atribui a todo processo atômico uma descontinuidade essencial, ou melhor, uma individualidade completamente estranha às teorias clássicas e simbolizada pelo quantum de ação de Planck.”^[3] Segundo esse princípio, a energia não deve ser considerada de forma contínua, mas sim de forma discreta. A discretitude da teoria implica não apenas em um distanciamento radical das noções de espaço-tempo – que pressupõem antes de tudo continuidade – mas também da determinação dos próprios observáveis.[4] Mais tarde, o desenvolvimento da teoria evidenciou graves problemas na hora de interpretar o formalismo matemático em termos de um mundo formado por entidades.^[5] Ainda hoje, mais de um século depois de sua criação, a mecânica quântica permanece sem uma interpretação que nos permita articular de modo coerente o sentido daquilo do que nos fala a teoria. Em particular, a teoria parece ou limitar ou forçar o total abandono do PI. Um dos primeiros a chamar a atenção para a impossibilidade de considerar as partículas quânticas como possuidoras de ‘identidade’ foi Erwin Schrödinger (1998) que sustentava que: “[…] fomos […] forçados a rechaçar a ideia de que […] uma partícula é uma entidade individual que retém sua identidade para sempre. Pelo contrário, agora somos obrigados a afirmar que os constituintes últimos da matéria não têm individualidade para nada”.

Pois bem, é comum ouvir o argumento de que as partículas elementares (ex., elétrons, quarks, neutrinos, etc.) são objetos nomológicos: objetos nos quais as propriedades são determinadas por leis. Deste modo, partículas de um dado tipo – por exemplo, elétrons – são, por definição, exatamente iguais umas às outras. Tal proposta é aceita pela comunidade científica sem maiores reparos. No entanto, devemos enfatizar aqui que essa ideia da ciência como ‘catálogo’ ou ‘lista de propriedades’ pressupõe uma experiência encerrada, já conhecida. Não existe nada de novo a encontrar na experiência senão simplesmente catalogá-la seguindo critérios dessemelhantes. Do mesmo modo, foi aceita, e permanece ainda hoje como premissa inegável, aquela em que todas as classes de partículas quânticas (ex., elétrons, quarks, neutrinos, etc.) são idênticas entre si. Essa conclusão se sustenta no modo como a teoria conta as configurações de estados. Contrariamente aos sistemas clássicos, que obedecem a estatística de Maxwell-Boltzmann, os quanta satisfazem as estatísticas de Bose-Einstein e Fermi-Dirac. Consideremos a modo de exemplo duas partículas indistinguíveis, como o podem ser dois elétrons. Se as partículas fossem indivíduos, os elétrons poderiam ser rotulados como ‘elétron 1’ e ‘elétron 2’. Suponhamos que os elétrons tivessem que ser colocados em duas caixas. Se fossem objetos, haveria evidentemente quatro possibilidades para distribuir as partículas: os dois elétrons na caixa da esquerda, os dois na caixa da direita, o ‘elétron 1’ na caixa da direita e o ‘elétron 2’ na da esquerda, ou o ‘elétron 1’ na caixa da esquerda e o ‘elétron 2’ na da direita. Entretanto, a estatística quântica impõe que pelo menos duas dessas alternativas devem ser descartadas, dado que não há diferença alguma entre os elétrons ‘1’ e ‘2’. Posto que exista uma absoluta indistinguibilidade entre ambas as partículas, as duas últimas configurações devem ser consideradas como uma única possibilidade. Se as partículas fossem bósons, existiriam apenas três configurações possíveis, mas como são férmions, existe somente uma – sendo que neste caso os dois primeiros arranjos também seriam descartados devido ao princípio de exclusão de Pauli. Evidentemente torna-se complexo, do ponto de vista descritivo, justificar este novo modo de “contar” as possíveis configurações.

As discussões e análises que encontramos comumente na literatura (ex., French, 2011) pressupõem a pergunta sobre o sentido e significado das ‘partículas indistinguíveis’ ou das ‘partículas sem identidade’. Entretanto, a configuração desse problema é enganosa, dado que pressupõe, de modo implícito e desde o começo, a ideia de que o formalismo quântico descreve – necessariamente – algum tipo de variante da noção de ‘partícula’. Contudo, além da dificuldade que podemos ter em aceitar uma noção de ‘entidade sem identidade’ (de Ronde, 2010), existem argumentos muito fortes que evidenciam a impossibilidade de considerar tal premissa válida. Na próxima seção, trataremos de discutir a impossibilidade de pensar uma tal ‘entidade sem identidade’, enquanto que na seção 3 nos concentraremos em apresentar dois argumentos que tentam desmontar o pressuposto de que o formalismo quântico refere-se a – uma ideia ou variante da – noção de entidade.

2. As partículas quânticas: entidades sem identidade? 

A noção de identidade é aquela que nos permite fazer referência a ‘um algo’ através do tempo e enfatizar deste modo que esse ‘algo’ no tempo t₁ é o ‘mesmo algo’ no tempo t₂. O PI é aquele que nos permite sustentar a existência de uma mesmidade através do tempo. Porém, se acreditarmos na existência de ‘objetos indistinguíveis’, eles não podem necessariamente existir no espaço-tempo, posto que tal existência permitiria considerar que eles existem em separado e, consequentemente, são singularmente determináveis (de modo espaço-temporal). Evidentemente, uma partícula é distinguível dada a posição que ocupa de outra partícula localizada em uma região diferente do espaço. Se elas ocupam um lugar, significa que posso rotular as partículas considerando suas posições. Assim, se quisermos considerar a indistinguibilidade em seu sentido ôntico, devemos aceitar que os ‘objetos indistinguíveis’ não podem existir no espaço, devendo, portanto, necessariamente existir então sobre outro “suporte ontológico” (não espacial). Mas qual seria o sentido de considerar um ‘objeto que não existe no espaço’? Pode um objeto tal ser considerado enquanto ‘objeto físico’? Ou não é por acaso a espacialidade a precondição para a própria consideração dos objetos físicos? Como pensar uma noção de entidade sem espacialidade? E talvez, ainda mais importante, como pensar uma noção de entidade sem identidade?

Dentro da metafísica aristotélica, o PI, juntamente com o princípio de existência e o princípio de não contradição, constitui e determina a noção de entidade (Verelst e Coecke, 1998). Esses princípios desempenham um papel não apenas lógico, mas também ontológico, na arquitetônica aristotélica, fundindo e articulando uma concepção singular do mundo. Visto que se trata de uma arquitetônica interconectada a partir de diversos conceitos e princípios, não deveria tornar evidente a consequência de suprimir um dos princípios fundamentais. Ameaça-nos aqui, ante a desarticulação dos fundamentos, a própria perfuração das bases da construção e, como consequência, seu posterior colapso. Embora isso seja comum em grande parte da literatura referente ao problema da indistinguibilidade quântica, não fica evidente como sustentar uma noção de entidade sem identidade (de Ronde, 2010b). Seria melhor que essa discussão, numa primeira instância, justificasse em que sentido tal entidade sem identidade não resultaria em algo mais que um oximoro. Porém, além dos argumentos físicos que podemos usar contra a possibilidade de considerar a ideia ou noção de ‘partícula indistinguível’, existem também vários argumentos – que entendemos como mais fundamentais ou radicais – relacionados à própria impossibilidade de interpretar o formalismo quântico em torno de noções tais como: ‘entidade’, ‘objeto’ ou ‘partícula’. Tal impossibilidade destruiria em seu núcleo a problemática da indistinguibilidade quântica tal como é normalmente apresentada na literatura.

3. Reconsiderando as ‘partículas’ à luz do formalismo quântico

Um problema se configura em torno de pressupostos primitivos sem os quais sua articulação pode carecer de sentido. Um problema é sempre referente implícita ou explicitamente a um conjunto de premissas que são ordenadas. Lamentavelmente, muitas discussões na literatura especializada hoje em dia se sustentam numa completa incompreensão dos limites da análise. Na filosofia da ciência, nos encontramos muitas vezes diante de problemas mal definidos, pobremente caracterizados, onde não se explicam os pressupostos e onde toda posição parece pertinente. Nesse mesmo sentido, um dos exemplos mais característicos que podemos encontrar na literatura é o modo como se analisa o problema da identidade ou da indistinguibilidade na teoria quântica. Embora não seja explícito, esse problema se apresenta na literatura relacionado à possibilidade de compreender o sentido das ‘partículas idênticas’, assumindo desde o princípio, de modo implícito, uma ideia talvez ainda mais controversa: a relação do formalismo ortodoxo com a noção ou ideia de ‘objeto’. Evidentemente, se não pressupomos a ideia de que a teoria quântica refere-se a ‘objetos’, resulta improcedente uma discussão sobre a distinguibilidade ou não dos ‘objetos quânticos’. Somente quando aceitamos que não existe um problema relacionado à noção de ‘objeto quântico’ é que estamos habilitados a discutir sobre a indistinguibilidade de tais objetos. Por duas razões fundamentais, que discutiremos a seguir, não estamos dispostos a assumir esse pressuposto de modo acrítico.

Para não repetir aqueles erros que mencionamos antes, devemos marcar claramente o campo de ação do problema que nos interessa analisar. Primeiramente, nos interessa tratar do formalismo ortodoxo da teoria e evitar considerações a respeito de formalismos que, pressupondo uma solução ao problema, pretendem transformar de modo ad hoc a estrutura matemática da teoria – como é o caso da teoria de Bohm (1952) ou aquela proposta por Ghirardi, Rimini e Weber (1986). Em segundo lugar, nos interessa distinguir a problemática formal, que pretende analisar a estrutura matemática da teoria e o papel da identidade daquela problemática conceitual, em que se busca compreender e articular de modo coerente um conjunto de conceitos específicos. Em terceiro lugar, e a partir dos pontos anteriores, assinalar a estratégia interpretativa que buscamos sustentar: começar pelo formalismo ortodoxo e avançar para uma interpretação conceitual da teoria que nos permita não somente considerar a experiência quântica de modo coerente, como também representar do que nos fala a teoria. Se aceitarmos essas considerações como ponto de partida para nossa investigação, existem dois problemas centrais para a mecânica quântica que explicitamos anteriormente (de Ronde, 2011; 2013).

Na mecânica quântica, as magnitudes físicas estão representadas por objetos matemáticos (operadores sobre o espaço de estados) para os quais a ordem em que elas são consideradas é relevante (são operadores que não comutam). Esse fato matemático traz consequências interpretativas extremamente problemáticas, pois devido a ele nem todas são compatíveis, sendo difícil, portanto, sustentar que as magnitudes quânticas preexistem independentemente da escolha do conjunto compatível de propriedades a serem observadas – a escolha do contexto. Com a finalidade de restringir o discurso a subconjuntos de magnitudes mutuamente compatíveis, escolhem-se então diferentes Conjuntos Completos de Observáveis que Comutam (CCOC), onde cada escolha de uma representação matemática particular (dada por um CCOC específico) determina um modo particular no qual o estado do sistema físico pode ser expressado. Contudo, a incompatibilidade impede que se pense em Ψ como um objeto com propriedades determinadas. O primeiro problema é dar conta da função denominada de onda quântica, Ψ, e da multiplicidade de representações matemáticas (determinadas por bases de operadores) mutuamente incompatíveis. No lugar de sustentar a necessidade de conceber o mundo em termos de entidades: como pensar em Ψ? Chamamos  isto da inversão do problema da contextualidade quântica, assumindo a contextualidade como uma característica fundamental da teoria – em lugar de algo do qual é necessário escapar. Por outro lado, a escolha de uma representação matemática particular (dada por um CCOC) determina uma base na qual os observáveis se diagonalizam; o vetor pode ser escrito então em termos de diferentes combinações lineares de estados: 

 α₁ |φ₁^B1 > + α₂ |φ₂^B1 > = |φ^B2 > = β₁ |φ₁^B3 > + β₂ |φ₂^B3 > + β₃ |φ₃^B3 >                            (1)

Essas combinações lineares de estados são chamadas de “superposições quânticas”. A linearidade da equação de Schrödinger traz consigo, como consequência direta, que diferentemente do caso clássico, em cada instante de tempo podemos ter estados mutuamente contraditórios entre si, como o famoso exemplo usado pelo próprio Schrödinger, de um gato vivo e morto ao mesmo tempo.^[6] Evidentemente, a contradição de propriedades evita, embora em um nível diferente, a possibilidade de se considerar um objeto a partir do formalismo ortodoxo. O segundo problema, inverso ao problema da medição, remete, portanto, à necessidade de se repensar a superposição quântica.

4. Considerações finais

Neste trabalho, argumentamos contra a configuração dada na literatura ao problema da indistinguibilidade das partículas quânticas, demonstrando como, por um lado, a própria noção de partícula deve ser baseada no PI e, por outro, como a própria premissa de ‘partícula’ vai, de um modo mais profundo, contra o formalismo ortodoxo da teoria. Com o objetivo de dar continuidade a uma estratégia interpretativa que parte do formalismo e avança sobre novos conceitos que nos permitam articular a experiência quântica (de Ronde, 2010a), discutimos e analisamos a necessidade de produzir uma lógica não reflexiva que explicite de modo claro o fato de que a mecânica quântica não pressupõe o PI. Uma discussão sobre um formalismo que exponha as características da quântica desde o começo. A pergunta se inverte: não devemos justificar o modo como nos referimos às partículas sem identidade, mas sim, partir de um formalismo que não pressuponha o PI e encontrar, a partir dali, do que nos fala a teoria quântica. As lógicas não reflexivas podem nos ajudar nessa estratégia interpretativa decifrando, a partir de uma perspectiva lógica, as possibilidades de pensar além da noção de identidade. Deixamos para um trabalho futuro a exposição do desenvolvimento lógico particular desse enfoque (da Costa e de Ronde, 2013b).

Agradecimentos

Ubacyt 2011/2014 635, FWO project G.0405.08 and FWO-research community W0.030.06. CONICET RES. 4541-12 (2013-2014).

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Referências

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Newton da Costa é professor da Universidade Federal de Santa Catarina, Brasil.

Christian de Ronde é professor do Departamento de Filosofía “Dr. A. Korn” – UBA/CONICET, Argentina. Center Leo Apostel for Interdisciplinary Studies e Foundations of the Exact Sciences – Vrije Universiteit Brussel, Bélgica.

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